Question

已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列 前項(xiàng)和為，且滿足
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列前項(xiàng)和；
（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，說明理由

Answer 1

（1）；（2；（3）存在，詳見解析．

試題分析：（1）此類問題一般用等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量根據(jù)題目條件布列方程，解之即可，體現(xiàn)的方程的基本思想，解出等差數(shù)列和等比數(shù)列后，便可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意本題數(shù)列的特點(diǎn)，可將其寫成分段的形式；（2））在求出等差數(shù)列和等比數(shù)列的公差和公比后，求得難度已經(jīng)不大，但要注意分組求和；（3）此類探究性問題，一般先假設(shè)存在符合條件的連續(xù)三項(xiàng)，然后通過推理，求出則存在，若得到矛盾，則不存在，存在時(shí)還要注意求出所有符合條件的解，注意分類討論思想的應(yīng)用.
試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則

又，，解得
∴對于，有
故                      5分
（2）由（1）知，在數(shù)列中，前項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，所以有                 8分
（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1，下面說明理由                                               10分
若，則由，得
化簡得，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立     12分
若，則由，得
化簡得                                                            14分
令，則
因此，，故只有，此時(shí)
綜上，在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1                                                           16分