Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P―ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面底面ABCD，是BC中點，AO交BD于E.（I）求證：；（II）求二面角的大小；（III）求證：平面平面PAB.

Answer 1

解析：方法一：（I）證明：，又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，平面ABCD    ……2分

    在梯形ABCD中，可得

    ，即

    在平面ABCD內的射影為AO，       ……4分

    （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC，                   平面PBC，

    為二面角P―DC―B的平面角                ……6分

    是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為   …8分

 （III）證明：取PB的中點N，連結CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC            ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

連結DM、MN，則由MN//AB//CD，，

得四邊形MNCD為平行四邊形，，平面PAB．  

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中點O，因為是等邊三角形，

    由側面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O―xyz……2分

（I）證明：，則在直角梯形中，

    在等邊三角形PBC中，……3分

   

                   

    ，即…4分

 （II）解：取PC中點N，則

   

    平面PDC，顯然，且平面ABCD

    所夾角等于所求二面角的平面角        ……6分

   

 ，二面角的大小為         ……8分

（III）證明：取PA的中點M，連結DM，則M的坐標為

    又                 ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB   ……12分