Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，棱PA垂直底面ABC，PA=AB=4，BD=

3

4

BP，CE=

3

4

BC，F是AB的中點．
（1）證明DE∥平面ABC；
（2）證明：BC⊥平面PAC；
（3）求四棱錐C-AFDP的體積．

Answer 1

分析：（1）根據等比例線段定理可得BC∥DE，由線面平行的判定定理可證DE∥平面ABC；
（2）由∠ACB=90°得AC⊥BC，又根據棱PA垂直底面ABC，可得PA⊥BC，利用線面垂直的判定定理可證BC⊥平面PAC；
（3）過D作DG⊥AB于F，則DG∥PA，可證DG為三棱錐D-BCF的高，又四棱錐C-AFDP的體積V=V_P-ABC-V_D-BCF，分別計算兩個三棱錐的體積，作差可得答案．

解答：解：（1）證明：∵BD=

3

4

BP，CE=

3

4

BC，∴

PD

PB

=

PE

PC

，
∴DE∥BC． 
又∵DE?平面ABC，BC?平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（2）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（3）∵△ABC為等腰直角三角形，F是AB的中點，∴FC⊥AB，FC=

1

2

AB=2，
∴S△BCF=

1

2

CF•BF=2．
過D作DG⊥AB于F，則DG∥PA，
∴DG⊥平面ABC，且DG為三棱錐D-BCF的高，
又BD=

3

4

BP，∴DG=

3

4

PA=3．
∴三棱錐D-BCF的體積為V_D-BCF=

1

3

S△BCF•DG=

1

3

×2×3=2．
又三棱錐P-ABC的體積為
VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

1

2

AB•CF•PA=

1

3

×

1

2

×4×2×4=

16

3

．
∴四棱錐C-AFDP的體積V=V_P-ABC-V_D-BCF
=

16

3

-2=

10

3

．

點評：本題考查了用間接法求棱錐的體積，考查了線面平行與線面垂直的證明，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力．