Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當x∈R時，函數的最小值為0，且f（-1+x）=f（-1-x）成立；
②當x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．求：
（1）f（1）的值；
（2）函數f（x）的解析式；
（3）求最大的實數m（m＞1），使得存在t∈R，只要當x∈[1，m]時，就有f（x+t）≤x成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由當x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立可得f（1）=1；
（2）由f（-1+x）=f（-1-x）可得二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=-1，于是b=2a，再由f（x）_min=f（-1）=0，可得c=a，從而可求得函數f（x）的解析式；
（3）可由f（1+t）≤1，求得：-4≤t≤0，再利用平移的知識求得最大的實數m．
解答：解：（1）∵x∈（0，5）時，都有x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1-1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（-1+x）=f（-1-x），
∴f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=-1，
∴-=-1，b=2a．
∵當x∈R時，函數的最小值為0，
∴a＞0，f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的對稱軸為x=-1，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
∴a=c．
∴f（x）=ax²+2ax+a．又f（1）=1，
∴a=c=，b=．
∴f（x）=x²+x+=（x+1）²．
（3）∵當x∈[1，m]時，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即（1+t+1）²≤1，解得：-4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x-（-t）]是函數y=f（x）向右平移（-t）個單位得到的，
顯然，f（x）向右平移的越多，直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點的橫坐標越大，
∴當t=-4，-t=4時直線y=x與二次曲線y=f（x+t）的右交點的橫坐標最大．
∴（m+1-4）²≤m，
∴1≤m≤9，
∴m_max=9．
點評：本題考查二次函數的性質，難點在于（3）中m的確定，著重考查二次函數的性質與函數圖象的平移，屬于難題．