Question

求下列函數的值域：
（1）函數y=x²+4x-2，x∈R的值域為

 

；
（2）函數y=x-

1-2x

的值域為

 

；
（3）已知x∈R，且x≠0，則函數y=x²+

1

x2

-x-

1

x

的值域為

 

；
（4）函數y=

x+1

x+2

的值域為

 

．
（5）函數y=

2 x -4

x +3

的值域為

 

．

Answer 1

分析：（1）配方法：首先把原函數配方變為（x+2）²-6，則值域可求；
（2）換元法：令t=

1-2x

，則利于二次函數在閉區間上的最值得到值域；
（3）換元法：令t=x+

1

x

，同（2）類似得到；
（4）分離常數法：y=

x+1

x+2

=1-

1

x+2

，則值域可求；

（5）分離常數法：y=

2 x -4

x +3

=2-

10

x +3

則值域可求．

解答：解：（1）配方法：由于y=x²+4x-2=（x+2）²-6，則y≥-6，故其值域為[-6，+∞）；
（2）換元法：令t=

1-2x

（t≥0），則y=x-

1-2x

=

1

2

-

1

2

t2-t=-

1

2

(t+1)2+1（t≥0），
故y≤-

1

2

(0+1)2+1=

1

2

，故其值域為(-∞，

1

2

]；
（3）換元法：令t=x+

1

x

（t≥2），則函數y=x²+

1

x2

-x-

1

x

=t2-2-t=(t-

1

2

)2-

9

4

，
由于t≥2，則y≥(2-

1

2

)2-

9

4

=0，故其值域為[0，+∞）；

（4）分離常數法：y=

x+1

x+2

=1-

1

x+2

，由于x+2≠0，則y≠1，故其值域為（-∞，1）∪（1，+∞）；

（5）分離常數法：y=

2 x -4

x +3

=2-

10

x +3

，
由于

x

+3≥3，∴0＜

10

x +3

≤

10

3

，則-

10

3

≤-

10

x +3

＜0，即-

4

3

≤2-

10

x +3

＜2，故其值域為[-

4

3

，2)．

點評：本題考查了函數值域的求法，考查了配方法，換元法，分離常數法等，考生要重點掌握．