Question

(本小題滿分16分)

已知數列單調遞增,且各項非負.對于正整數,若任意的,仍是中的項,則稱數列為“項可減數列”.

(Ⅰ)已知數列是首項為2,公比為2的等比數列,且數列是“項可減數列”,試確定的最大值.

(Ⅱ)求證:若數列是“項可減數列”,則其前項的和.

(Ⅲ)已知是各項非負的遞增數列,寫出(Ⅱ)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 解:設,則,

   易得,   即數列一定是“2項可減數列” …………………2分

   但因為,所以的最大值為2……………………………………4分

(Ⅱ)證明:因為數列是“項可減數列”,所以必定是數列中的項,

而是遞增數列,,

所以必有………………………………6分

 故

, 所以,即……………………………8分

又由定義知,數列也是“t項可減數列”(),

所以…………………………………………………………………………… 9分

(Ⅲ)解:(Ⅱ)的逆命題為:已知數列為各項非負的遞增數列,若其前項的和滿足

,則該數列一定是“項可減數列” ………………………………………10分

該逆命題為真命題…………………………………………………………………………………………11分

理由如下:因為,所以當時,,兩式相減,

得,即 (*) …………………………12分

則當時,有  (**),由(**)－(*),得……………13分

又,所以,故數列是首項為0的遞增等差數列………………………… 14分

設公差為,則

對于任意的,……………………………………………15分

因為,所以仍是中的項,故數列是“項可減數列”……16分