Question

【題目】過點斜率為正的直線交橢圓于，兩點.，是橢圓上相異的兩點，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

分析可知，P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，設其半徑為r，且，分直線AB斜率存在及不存在兩種情況分別討論得解．

如圖，

先固定直線AB，設，則，其中為定值，

故點P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，且外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設其半徑為r，阿波羅尼斯圓會把點A，B其一包含進去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：

接下來尋求半徑的表達式，

由，解得，

同理，當時有，，

綜上，；

當直線AB無斜率時，與橢圓交點縱坐標為，則；

當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，即，

與橢圓方程聯立可得，

設，，則由根與系數的關系有，，

，

注意到與異號，故，

設，則，，當，即，此時，故，

又，綜上外接圓半徑的最小值為.

故選：D．