Question

已知直線l與函數f（x）=lnx的圖象相切于點（1，0），且l與函數（m＜0）的圖象也相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）設，若恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）得到斜率k=f′（1），且過（1，0），寫出直線方程即可．因為直線l與g（x）的圖象相切聯立兩個函數解析式，消去y得到一元二次方程，根的判別式=0即可求出m；
（Ⅱ）把g（x）代入到h（x）得a大于一個函數，求出導函數=0時x的值，再根據自變量的取值范圍討論函數的增減性得到函數的最大值，讓a大于最大值即可求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵，直線l是函數f（x）=lnx的圖象在點（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1．
又因為直線l與g（x）的圖象相切，
由，
得△=（m-1）²-9=0⇒m=-2（m=4不合題意，舍去）
（Ⅱ）∵
由恒成立，
得恒成立
設，則
當0＜x＜1時，ϕ′（x）＞0；當x＞1時，ϕ′（x）＜0．
于是，ϕ（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
故φ（x）的最大值為ϕ_max（x）=ϕ（1）=1
要使a≥ϕ（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范圍為[1，+∞）
點評：考查學生理解函數恒成立時取條件的能力，明白導數的幾何意義，利用導數求曲線上某點切線方程的能力．