Question

已知直線l與函數f（x）=lnx的圖象相切于點（1，0），且l與函數g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)的圖象也相切．
（I）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求函數h（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出直線的l的斜率，然后根據點斜式寫出直線l的方程，在聯立方程直線l與函的圖象也相切g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

，根據△=0，求出m的值；
（Ⅱ）根據（I）可得h（x）=f（x+1）-g'（x），對其求導，令h′（x）=0，先求出極值，然后再求最值．

解答：解：（I）∵直線l與函數f（x）=lnx的圖象相切于點（1，0），
∴f′（x）=

1

x

，∴f（x）|_x=1=1，及直線l的斜率為1，
∴直線l的直線為：y-0=1×（x-1），
∴直線l的方程為：x-y-1=0；
∵直線l與函數g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)的圖象也相切，
∴

1

2

x2+mx+

7

2

= x-1，整理方程得：x²+2（m-1）x+9=0，
∴△=4（m-1）²-4×9=0，
∴m=4或-2，
又∵m＜0，
∴m=-2；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）
∴h′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
當-1＜x＜0時，h′（x）＞0，h（x）為增函數；
當x≥0時，h′（x）＜0，h（x）為減函數；
函數h（x）在x=0處取極大值，也是最大值，
h_max（x）=h（0）=2．

點評：此題主要考查利用導數求某點的切線和利用導數求閉區間上函數的最值，求解的關鍵是要正確求導，是一道基礎題．