Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖1）及左視圖（如圖2），底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點O連接PO，證明AD垂直平面PAB內的兩條相交直線PO，AB，即可證明AD⊥PB；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出

PD

，

AB

=(0，2，0)利用cos＜

PD

，

AB

＞=

PD • AB

| PD ||  AB |

=-

1

3

，求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）平面PABD 法向量

n

=（1，0，0）設平面PCD的法向量

m

=（x，y，z），通過cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點O連接PO，則PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB
PO?平面PAB，可得PO⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0
可得AD⊥平面PAB
PB?平面PAB
所以 AD⊥PB


（Ⅱ）過O作AD的平行線為x軸，OB、OP分別為y、z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，-1，0）
D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左視圖知PO=2，故P（0，0，2）

PD

=（2，-1，-2），

AB

=(0，2，0)cos＜

PD

，

AB

＞=

PD • AB

| PD ||  AB |

=-

1

3

（Ⅲ）平面PABD 法向量

n

=（1，0，0）設平面PCD的法向量

m

=（x，y，z）

m • PD =0  m • CD =0

2x-y-2z=0 y=0

可得x=y
取

m

=(

1

2

，0，

1

2

)
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n ||  m |

=

2

2

即所求二面角的大小為

π

4

點評：本題主要考查三視圖、直線與直線直線與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想像能力，推理論證能力，以及運算求解能力，考查化歸與轉化思想，數形結合思想．