Question

已知

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（1）當時，求的值；

（2）設.試用數學歸納法證明：當時，.

Answer 1

同下

解析:

（1）當n＝5時，

原等式變為(x＋1)⁵＝a₀＋a₁(x－1)＋ a₂(x－1)²＋ a₃(x－1)³＋a₄(x－1)⁴＋ a₅(x－1)⁵．

令x＝2得a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝3⁵＝243．……………………………………3分

（2）因為(x＋1)ⁿ＝[2＋(x－1)]ⁿ，

所以a₂＝C×2^n－2．所以b_n＝＝2C＝n(n－1)（n≥2）．……………………5分

①當n＝2時，左邊＝T₂＝b₁＋b₂＝2，右邊＝＝2，左邊＝右邊，

等式成立．            ……………………………………………………6分

②假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時，等式成立，即T_k＝，

那么，當n＝k＋1時，

左邊＝T_k＋b_k＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋(k＋1)k

＝k(k＋1)(＋1)＝＝

＝右邊．

當n＝k＋1時，等式成立．

綜合①②，當n≥2時，T_n＝．       ……………………………10分