Question

函數f(x)=

1

3

x3-sinx，x∈[-1，1]，則其導函數f′（x）是（　　）

A．僅有最大值的奇函數

B．既有最大值又有最小值的奇函數

C．僅有最小值的偶函數

D．既有最大值又有最小值的偶函數

Answer 1

分析：f′（x）=x²-cosx，利用奇偶函數的定義可判斷函數的奇偶性，再利用導數可求得導函數f′（x）的最值．

解答：解：f′（x）=x²-cosx，
∵f′（-x）=（-x）²-cos（-x）=x²-cosx=f′（x），
∴f′（x）為偶函數；
f″（x）=2x+sinx，
當x∈[0，1]時，f″（x）≥0，∴f′（x）遞增，
由f′（x）為偶函數，知f′（x）在[-1，0]上遞減，
∴f′（x）_min=f′（0）=-1，f′（x）_max=f′（-1）=f′（1）=1-cos1，
故選D．

點評：本題考查利用導數研究函數在閉區間上的最值，屬中檔題，奇偶性常用定義解決．