Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x²+x,當(dāng)x∈［n,n+1］(n∈N^*)時,f(x)的所有整數(shù)值的個數(shù)為g(n).

(1)求g(n)的表達(dá)式；

(2)設(shè)(n∈N^*),S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ-1a_n,求S_n；

(3)設(shè),T_n=b₁+b₂+…+b_n,若T_n＜l(l∈Z),求l的最小值.

Answer 1

解析:(1)當(dāng)x∈［n,n+1］(n∈N^*)時，函數(shù)f(x)=x²+x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域為［n²+n,n²+3n+2］(n∈N^*).?

∴g(n)=2n+3(n∈N^*).?

①當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_n-1-a_n?

=(1²-2²)+(3²-4²)+…+［(n-1)²-n²］?

=-［3+7+…+(2n-1)］?

②當(dāng)n為奇數(shù)時，S_n=(a₁-a₂)+(a₃-a₄)+…+(a_n-2-a_n-1)+a_n=S_n-1+a_n=

∴.

則由l∈Z,可得l的最小值為7.