Question

一副三角板拼成一個四邊形ABCD，如圖，然后將它沿BC折成直二面角.

(1)求證: 平面ABD⊥平面ACD；

(2)求AD與BC所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小. 

Answer 1

(1)證明略 (2)  (3) 二面角A—BD—C的大小為arctan2

解析:

取BC中點E，連結AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，

∵BC⊥CD，由三垂線定理知AB⊥CD.

又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB平面ABD.

∴平面ABD⊥平面ACD。

(2)解: 在面BCD內，過D作DF∥BC，過E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂線定理知AF⊥DF，∠ADF為AD與BC所成的角.

設AB=m，則BC=m，CE=DF=m,CD=EF=m

即AD與BC所成的角為arctan

(3)解:∵AE⊥面BCD，過E作EG⊥BD于G，連結AG，由三垂線定理知AG⊥BD，

∴∠AGE為二面角A—BD—C的平面角

∵∠EBG=30°，BE=m,∴EG=m

又AE=m,∴tanAGE==2,∴∠AGE=arctan2.

即二面角A—BD—C的大小為arctan2.

另法（向量法）: (略)