Question

設分別是橢圓的左，右焦點.
（1）若是橢圓在第一象限上一點，且，求點坐標；（5分）
（2）設過定點的直線與橢圓交于不同兩點，且為銳角（其中為原點），求直線的斜率的取值范圍.（7分）

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）設，求點坐標,即要構建關于的兩個方程，第一個方程可根據點在曲線上，點的坐標必須適合曲線的方程得到，即有，第二個方程可由通過坐標化得到，即有，聯立方程組，可解得點坐標；（2）求直線的斜率的取值范圍，即要構建關于的不等式，可通過為銳角，轉化為不等關系，進而轉化為關于的不等式，解出的取值范圍.注意不要忽略，這是解析幾何中常犯的錯誤.
試題解析：（1）依題意有，所以，設，則由得：，即，又，解得，因為是橢圓在第一象限上一點，所以.                                                        5分
（2）設直線與橢圓交于不同兩點的坐標為、，
將直線：代入，整理得： （），
則，，
因為為銳角，所以，從而
整理得：，即，解得，
且（）方程必須滿足：，解得，
因此有，所以直線的斜率的取值范圍為.         12分
考點：1.直線與橢圓的位置關系；2.方程與不等式思想，3.設而不求的思想與等價轉化思想.