Question

若函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（2-x），且當x≠1時其導函數f′（x） 滿足xf′（x）＞f′（x），若1＜a＜2，則（　　）

• A、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
• B、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
• C、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
• D、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer 1

分析：由f（x）=f（2-x），可知函數f（x）關于直線x=1對稱，由xf′（x）＞f′（x），可知f（x）在（-∞，1）與（1，+∞）上的單調性，從而可得答案．

解答：解：∵函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（2-x），
故函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
再根據xf′（x）＞f′（x），可得 f′（x）（x-1）＞0，
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上的單調遞增；
同理可得，當x＜2時，f（x）在（-∞，1）單調遞減；
∵1＜a＜2，
∴0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4，
∴f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a），
故選：B．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查導數的性質，判斷f（x）在（-∞，1）與（1，+∞）上的單調性是關鍵，屬于中檔題．