Question

（2012•云南模擬）選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2．
（2）求函數y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：將絕對值符號去掉，函數寫成分段函數，再分段求出不等式的解集及函數的值域，即可確定不等式的解集及函數的最小值．

解答：解：函數f（x）=|2x+1|-|x-4|=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x-5，x≥4

（1）令-x-5＞2，則x＜-7，∵x≤-

1

2

，∴x＜-7
令3x-3＞2，則x＞

5

3

，∵-

1

2

＜x＜4，∴

5

3

＜x＜4
令x-5＞2，則x＞7，∵x≥4，∴x＞7
∴f（x）＞2的解集為：{x|x＜-7或

5

3

＜x＜4或x＞7}
（2）當x≤-

1

2

時，-x-5≥-

9

2

當-

1

2

＜x＜4時，-

9

2

＜3x-3＜9
當x≥4時，x-5≥-1
∴函數y=f（x）的最小值為-

9

2

．

點評：本題考查絕對值函數，考查分類討論的數學思想，考查函數的最值，屬于中檔題．