Question

已知函數在處取得極值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設是曲線上除原點外的任意一點,過的中點且垂直于軸的直線交曲線于點,試問：是否存在這樣的點,使得曲線在點處的切線與平行？若存在,求出點的坐標；若不存在,說明理由；

（Ⅲ）設函數,若對于任意,總存在,使得,求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，坐標為；（Ⅲ）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意知，解出；（Ⅱ）先假設存在這樣的點并設出點的坐標，然后根據斜率相等列出等式，解得即可；（Ⅲ）有3中解法，1的基本思路是：先利用導數求得的最小值，然后說明在上的最小值不能大于的最小值，根據這一條件求得的范圍；2的基本思路是：先利用導數求得的最小值-2，要使總存在,使得成立，說明在上有解，利用二次函數知識解答；3的基本思路和2有相似地方，只是在說明在上有解時，不是利用二次函數知識，而是利用換元和分離參數法解答.

試題解析：⑴∵,∴.又在處取得極值.

∴,即,解得,,經檢驗滿足題意,∴. 

⑵由⑴知.假設存在滿足條件的點,且,則,

又.則由,得,∴,∵,

∴,得.故存在滿足條件的點

此時點的坐標為或.

⑶解法： ,令,得或.

當變化時,、的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

∴在處取得極小值,在處取得極大值.

又時,,∴的最小值為.     

∵對于任意的,總存在,使得,

∴當時,最小值不大于.又.

∴當 時,的最小值為,由,得；

當時,最小值為,由,得；

當時,的最小值為.由,即,解得或.又,∴此時不存在.

綜上,的取值范圍是.

解法：同解法得的最小值為.

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即在上有解.設,則

得,  或,得或.

∴或時,在上有解

故的取值范圍是.

   解法：同解法得的最小值為.  

∵對于任意的,總存在,使得,∴當時,有解,即在上有解.令,則,∴.

∴當時,；當時,得,不成立,∴不存在；

當時,.令,∵時,,∴在

上為減函數,∴,∴.

   綜上,的取值范圍是.   

考點：利用導數求函數的極值、二次函數、利用導數求函數的單調性.