Question

已知函數(shù)f(x)=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）記集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5-

1

4

，判斷λ與E的關(guān)系；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）時(shí)，若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)f(x)=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數(shù)f（-x）=f（x），構(gòu)造關(guān)于a的方程組，可得a值；
（II）由（I）中函數(shù)f（x）的解析式，將x∈{-1，1，2}代入求出集合E，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出λ，進(jìn)而根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得答案
（III）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-3m，2-3n]，x∈[

1

m

，

1

n

]，m＞0，n＞0構(gòu)造關(guān)于m，n的方程組，進(jìn)而得到m，n的值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x）
即

(x+1)(x+a)

x2

=

(-x+1)(-x+a)

x2

∴2（a+1）x=0，
∵x為非零實(shí)數(shù)，
∴a+1=0，即a=-1
（II）由（I）得f(x)=

x2-1

x2

∴E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，

3

4

}
而λ=lg22+lg2lg5+lg5-

1

4

=lg2•(lg2+lg5)+lg5-

1

4

=lg2+lg5-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

∴λ∈E
（III）∵f′(x)=

2

x3

＞0恒成立
∴f(x)=

x2-1

x2

在[

1

m

，

1

n

]上為增函數(shù)
又∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-3m，2-3n]，
∴

f( 1 m )= m2-1 m2 =2-3m f( 1 n )= n2-1 n2 =2-3n

，
又∵

1

m

＜

1

n

，m＞0，n＞0
∴m＞n＞0
解得m=

3+ 5

2

，n=

3- 5

2

1-

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，其中利用奇偶性求出a值，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，是解答的關(guān)鍵．