Question

對于函數f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點．如果函數有且只有兩個不動點0，2，且

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)已知各項不為零的數列，求數列通項a_n；

(3)如果數列{a_n}滿足a₁＝4，a_n+1＝f(a_n)，求證：當n≥2時，恒有a_n＜3成立.

Answer 1

答案：
解析：

解析：依題意有，化簡為 由違達定理， 　　得： 　　解得代入表達式， 　　由得不止有兩個不動點， 　　 　　(2)由題設得　　 (*) 　　且　(**) 　　由(*)與(**)兩式相減得： 　　 　　 　　解得(舍去)或，由，若這與矛盾，，即{是以－1為首項，－1為公差的等差數列， ； 　　(3)采用反證法，假設則由(1)知 　　，有， 　　而當這與假設矛盾，故假設不成立，． 　　關于本例的第(3)題，我們還可給出直接證法，事實上： 　　由得＜0或 　　結論成立； 　　若，此時從而即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.