Question

若直線(xiàn)l同時(shí)平分一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積，則稱(chēng)直線(xiàn)l為該三角形的“Hold直線(xiàn)”，已知△ABC的三邊之長(zhǎng)分別為6、8、10，則△ABC的“Hold直線(xiàn)”（ ）
A．存在一條
B．存在兩條
C．存在無(wú)數(shù)條
D．不存在

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應(yīng)分情況討論：（1）若直線(xiàn)過(guò)△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)；（2）若直線(xiàn)交△ABC的某兩條邊，把這2種情況的直線(xiàn)數(shù)相加即得所求．
解答：解：（1）若直線(xiàn)過(guò)△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖，
假設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A．如果直線(xiàn)平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時(shí)，AC＞AB，
所以周長(zhǎng)相等不可能．同理直線(xiàn)過(guò)B、C也不存在．
（2）若直線(xiàn)交AB、BC于點(diǎn)M、N．如圖，設(shè)AB=6，AC=8，BC=10．
設(shè)BN=x，則BM=12-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽R(shí)t△ABC，可得MD=．
根據(jù)S_△MBN=MD•BN=S_△ABC，
可得BN=6+，BM=6-；
或者BN=6- 且BM=6+（不合題意，舍去）．
即這樣的直線(xiàn)存在，且只有一條，
綜上，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)和面積的直線(xiàn)有1條．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要分情況考慮．分析的時(shí)候，首先保證符合其中一個(gè)條件，再進(jìn)一步看是否滿(mǎn)足另一個(gè)條件，
屬于基礎(chǔ)題．