Question

（2012•溫州二模）若直線l同時平分一個三角形的周長和面積，則稱直線l為該三角形的“Hold直線”，已知△ABC的三邊之長分別為6、8、10，則△ABC的“Hold直線”（　　）

A．存在一條

B．存在兩條

C．存在無數條

D．不存在

Answer 1

分析：根據勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應分情況討論：（1）若直線過△ABC的某個頂點；（2）若直線交△ABC的某兩條邊，把這2種情況的直線數相加即得所求．

解答：解：（1）若直線過△ABC的某個頂點．如圖，
假設直線過點A．如果直線平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時，AC＞AB，
所以周長相等不可能．同理直線過B、C也不存在．
（2）若直線交AB、BC于點M、N．如圖，設AB=6，AC=8，BC=10．
設BN=x，則BM=12-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=

8(12-x)

10

．
根據S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
可得BN=6+

6

，BM=6-

6

；
或者BN=6-

6

 且BM=6+

6

（不合題意，舍去）．
即這樣的直線存在，且只有一條，
綜上，同時平分這個三角形周長和面積的直線有1條．
故選A．

點評：此題主要分情況考慮．分析的時候，首先保證符合其中一個條件，再進一步看是否滿足另一個條件，
屬于基礎題．