Question

是否存在實數λ，使函數f(x)＝x⁴＋(2－λ)x²＋2－λ在區間(－∞，－2]上是減函數，而在區間[－1，0)上是增函數？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：已知函數在規定區間上的單調性，運用定義可得出λ與所設的x₁、x₂的不等關系式，再根據變量x₁、x₂的兩個范圍，求出λ的范圍，由兩個已知條件求出λ的兩個范圍，若有公共部分則λ存在，若無公共部分，則λ不存在．

　　解：因為f(x₁)－f(x₂)＝x₁⁴－x₂⁴＋(2－λ)(x₁²－x₂²)＝(x₁²－x₂²)(x₁²＋x₂²＋2－λ)．

　　若x₁＜x₂≤－2，則x₁²－x₂²＞0，且x₁²＋x₂²＋2＞4＋4＋2＝10，所以當且僅當λ≤10時，f(x₁)－f(x₂)＞0恒成立，從而f(x)在區間(－∞，－2]上是減函數．

　　若－1≤x₁＜x₂＜0，則x₁²－x₂²＞0，且x₁²＋x₂²＋2＜1＋1＋2＝4，所以當且僅當λ≥4時，f(x₁)－f(x₂)＜0恒成立，從而f(x)在區間[－1，0)上是增函數．

　　綜上所述，存在實數λ使f(x)在區間(－∞，－2]上是減函數，而在區間[－1，0)上是增函數，且實數λ的取值范圍為[4，10]．

　　點評：本題是一道探索性命題，是一道求函數單調性的逆向問題，定義是解決此類問題的最佳方法．