Question

已知函數(shù)
（I）求函數(shù)的最小值；
（II）對于函數(shù)和定義域內(nèi)的任意實數(shù),若存在常數(shù),使得不等式和都成立,則稱直線是函數(shù)和的“分界線”．
設函數(shù)，，試問函數(shù)和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請說明理由．

Answer 1

（I）；（II）函數(shù)和存在“分界線”，方程為．

解析試題分析：（I）首先求函數(shù)的定義域，解方程得可能的極值點，進一步得的單調(diào)性，最后根據(jù)導函數(shù)在零點附近的變號情況求的最小值；（II）函數(shù)和的圖象在處有公共點.設函數(shù)和存在“分界線”，方程為，由對任意恒成立，確定常數(shù)，從而得“分界線”的方程為，再證明在時也恒成立，最后確定函數(shù)和的“分界線”就是直線．
試題解析：（I）  
令得，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以． 
（II）由，可知函數(shù)和的圖象在處由公共點. 
設函數(shù)和存在“分界線”，方程為，
應有在時恒成立，即在時恒成立，
于是，得，
則“分界線”的方程為   
記，則
令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)取得最大值，
即在時恒成立.  
綜上所述，函數(shù)和存在“分界線”，方程為
考點：1、應用導數(shù)求函數(shù)極值（最值）；2、應用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)．