Question

已知：動點M到定點A（1，0）距離比它到y軸的距離多1
（1）假設M不在y軸的左側，求點M的軌跡方程；
（2）設AM的中點為N，求點N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的定義，可得M點的軌跡為以點A為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，求出焦參數p的值，即可得到點M的軌跡方程；
（2）設點N坐標為（x，y），相應M點的坐標為（m，n），利用中點坐標公式算出m=2x-1，n=2y，得M（2x-1，2y），再將其代入拋物線y²=4x，化簡即得點N的軌跡方程．

解答：解：（1）∵動點M到定點A（1，0）距離比它到y軸的距離多1
∴動點M到定點A的距離等于M到直線x=-1距離，
又∵M不在y軸的左側，
∴M點的軌跡為以點A為焦點、直線x=-1為準線的拋物線…（3分）
設拋物線方程為y²=2px，可得

p

2

=1，從而2p=4…（4分）
∴拋物線方程為y²=4x，即為點M的軌跡方程．…（6分）
（2）點N（x，y）為軌跡上任意一點，相應M點的坐標為（m，n）
又∵A坐標為（1，0）
∴由中點坐標公式，得m=2x-1，n=2y．得到M（2x-1，2y），…（9分）
將M的坐標代入拋物線y²=4x，化簡得y²=2x-1，即為點N的軌跡方程．…（12分）

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程，著重考查了拋物線的定義與標準方程、動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．