Question

已知f(x)=-

1

2

+sin(

π

6

-2x)+cos(2x-

π

3

)+cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[

π

8

，

5π

8

]上的最大值，并求出f（x）取最大值時x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導公式和和差化積公式對函數解析式進行化簡為f（x）=

3

2

cos2x，即可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據x∈[

π

8

，

5

8

π]，求出2x∈[

π

4

，

5

4

π]，利用余弦函數的單調性即可求得結果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2x+

π

3

)+cos(2x-

π

3

)+

1+cos2x

2

-

1

2

=cos2xcos

π

3

+

cos2x

2

=

3

2

cos2x
故f（x）的周期是π． 
（Ⅱ）∵x∈[

π

8

，

5

8

π]，2x∈[

π

4

，

5

4

π]
∴f(x)在[

π

8

，

π

2

]上是減函數，
∴f(x)在[

π

2

，

5π

8

]上是增函數
∴f(

π

8

)＞f(

5

8

π)
故當x=

π

8

時，f（x）的最大值是

3

4

2

點評：本題考查三角恒等變換和三角函數的周期性以及最值問題，利用公式對三角函數解析式化簡是解題的關鍵，考查運算能力，屬中檔題．