Question

設定義在R的函數f（x）同時滿足以下條件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x）=f（x+2）；③當0≤x＜1時，f（x）=2^x-1．則f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)=

 

．

Answer 1

分析：根據f（x）是定義在R上的函數且f（x）+f（-x）=0，求得f（0）=0，進而根據f（x）=f（x+2）求得f（1）和f（2）的值，進而利用當0≤x＜1時，f（x）的解析式求得f（

1

2

）的值，利用函數的周期性求得f（

5

2

）=f（

1

2

），f（

3

2

）=-f（

1

2

），進而分別求得f（

5

2

）和f（

3

2

）的值．代入f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)中求得答案．

解答：解：由f（x）是定義在R上的函數且f（x）+f（-x）=0，
所以f（0）=0，又f（x）=f（x+2）
所以f（1）=f（-1）=-f（1）?f（1）=0且f（2）=f（0）=0，
f(

1

2

)=2

1

2

-1=

2

-1，
f(

5

2

)=f(

1

2

)，
f(

3

2

)=f(-

1

2

)=-f(

1

2

)
∴f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)=f(

1

2

)=

2

-1．
故答案為：

2

-1

點評：本題主要考查了函數的周期性和奇偶性的應用．解題的過程要特別留意函數解析式的定義域．