Question

已知函數f（x）=2x³-ax²+6bx在x=1處有極大值7．
（1）求f（x）的解析式及單調區間；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，根據函數f（x）=2x³-ax²+6bx在x=1處有極大值7，可得f′（-1）=0，f（-1）=7，從而求出a和b，求出f（x）的解析式，再利用導數研究其單調性；
（2）由（1）已知f（x）的單調區間，令f′（x）=0，求出極值點，得到極大值和極小值，可以利用導數研究其最值問題；

解答：解：（1）f′（x）=6x²-2ax+6b，…（1分）

f′(-1)=0 f(-1)=7

   …（2分）⇒

6+2a+6b=0 -2-a-6b=7

⇒

a=3 b=-2

，…（3分）
∴f（x）=2x³-3x²-12x．     …（4分）
又∵f′（x）=6x²-6x-12，由f′（x）＞0得6x²-6x-12＞0解得x＜-1或x＞2（5分）
由f′（x）＜0得6x²-6x-12＜0，解得-1＜x＜2 …（6分）
∴f（x）的單調增區間為（-∞，-1），（2，+∞），…（7分）
f（x）的單調減區間為（-1，2）．  …（8分）
（2）f′（x）=0得x=-1和x=2
則f（x）在[-3，3]的變化情況如下表

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-45	↗	7	↘	-20	↗	-9

由表知f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分別為7，-45     …（13分）

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性及其應用，也考查極大值和極小值與最大值和最小值的區別，是一道中檔題；