Question

下列關于曲線5x²y²+y⁴=1的描述中：①該曲線是封閉曲線 ②圖象關于原點對稱③曲線上的點到原點的最短距離為

2 5

5

正確的序號是______．

Answer 1

曲線5x²y²+y⁴=1 即 y²（5x²+y²）=1，顯然，y≠0．故表示的曲線不是封閉曲線，故①不正確．
把曲線方程中的（x，y ）同時換成（-x，-y ），方程不變，故曲線關于原點對稱，故②正確．
令 t=x²+y²，則 x²=t-y²，代入5x²y²+y⁴=1
化簡得t=

1+4y4

5y2

=

1

5y2

+

4y2

5

≥2

1 5y2 • 4y2 5

=

4

5

，
故t 的最小值等于

4

5

．
∴曲線上的點到原點的距離

t

 的最小值為

2 5

5

，故③正確．
故答案為  ②③．