Question

下列關于曲線5x²y²+y⁴=1的描述中：①該曲線是封閉曲線 ②圖象關于原點對稱③曲線上的點到原點的最短距離為正確的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：把方程化為 y²（5x²+y²）=1，由 y≠0 知曲線不是封閉曲線．把曲線方程中的（x，y ）同時換成（-x，-y ），方程不變，故曲線關于原點對稱．令 t=x²+y²，由基本不等式求得t 的最小值，即可求得曲線上的點到原點的距離  的最小值．
解答：解：曲線5x²y²+y⁴=1 即 y²（5x²+y²）=1，顯然，y≠0．故表示的曲線不是封閉曲線，故①不正確．
把曲線方程中的（x，y ）同時換成（-x，-y ），方程不變，故曲線關于原點對稱，故②正確．
令 t=x²+y²，則 x²=t-y²，代入5x²y²+y⁴=1
化簡得t==+≥2=，
故t 的最小值等于．
∴曲線上的點到原點的距離  的最小值為，故③正確．
故答案為  ②③．
點評：本題考查方程所表示的曲線，曲線的對稱性，兩點間的距離公式，基本不等式的應用，求曲線上的點到原點的最小距離
是解題的難點．