Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， 底面 ， ， ．

（Ⅰ）求證：平面 平面 ；
（Ⅱ）試在棱 上確定一點 ，使截面 把該幾何體分成的兩部分 與 的體積比為 ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ ，

∴ ．

∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ．

∵ ，

∴ 平面 ．

∵ 平面 ，

∴平面 平面 ．

（Ⅱ）解：作 于 點，

∵在 中， ，

∴ ．

∴ 平面 ．

設 ，

則 ．

．

由 ，得 ，解得 ．

，故 為 的中點．

（Ⅲ）解：連接 、 ， 與 交于點 ，連接 ，

由（Ⅱ）可知 平面 ，所以 ．

∵ 為正方形，

∴ ．

∵ ，

∴ 平面 ，故 ．

∴ 是二面角 的平面角．

由 平面 ，可知平面 平面 ．

∴二面角 與二面角 互余．

設二面角 的平面角為 ，則 ，

在 中， ，

，

所以二面角 的余弦值為 ．

【解析】（1）只需證明DCAD，DCPA即可；（2）過點E作EFAB，則EFPA，設EF=h，根據棱錐體積公式分別求出VP-ABCD和VE-ABC，則VPDCEA=VP-ABCD-VE-ABC，根據它們的體積之比可求出h 從而可確定點E的位置；（3）由題意可知二面角E—AC—B與二面角E—AC—P互余，因此二面角E—AC—B的正弦值即為二面角E—AC—P的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．