Question

已知曲線f（x）=ln（2-x）+ax在點（0，f（0））處的切線斜率為

1

2

．
（1）求f（x）的極值；
（2）設g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函數，求實數k的取值范圍；
（3）若數列{a_n}滿足a₁∈（0，1），a_n+1=f（a_n），求證：對一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根據負數沒有對數得到f（x）的定義域，求出f（x）的導函數，把x等于0代入導函數求出的函數值為曲線在已知點處的切線方程的斜率，讓其等于已知的斜率表示出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入到導函數中，令導函數等于0求出x的值，然后利用x的值在f（x）的定義域上討論導函數的正負即可得到函數的單調區間，根據函數的增減性即可得到函數的極值；（2）求出g（x）的導函數，因為g（x）在（-∞，1）上是增函數，所以導函數在（-∞，1）上恒大于等于0，列出關于k的不等式，解出k恒大于等于一個關于x的關系式，利用定義域求出關系式的范圍得到關系式的最大值，讓k大于等于這個最大值即可得到k的范圍；（3）利用數學歸納法證明，方法是：當n=1時，顯然成立；假設當n=k時成立，證明n=k+1也成立，即可得證．

解答：解：（1）f（x）的定義域是（-∞，2），f′(x)=

1

x-2

+a，
由題知f′(0)=-

1

2

+a=

1

2

，∴a=1∴f′(x)=

1

x-2

+1=

x-1

x-2

令f'（x）=0，得x=1，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：

所以f（x）在x=1處取得極大值1，無極小值；
（2）g(x)=ln(2-x)+(k+1)x，g′(x)=

1

x-2

+(k+1)，
由題知g'（x）≥0在（-∞，1）上恒成立，即k≥

1

2-x

-1在（-∞，1）上恒成立，
∴x＜1，∴2-x＞1，∴0＜

1

2-x

＜1，
∴-1＜

1

2-x

-1＜0，∴k≥0，
即實數k的取值范圍是[0，+∞）；
（3）a_n+1=f（a_n）=ln（2-a_n）+a_n
（i）當n=1時，由題意知0＜a₁＜1；
（ii）假設n=k時，有0＜a_k＜1，
則n=k+1時，∵a_k+1=f（a_k），f（x）在（0，1）上是增函數，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1）
即f（0）＜a_k+1＜f（1），即ln2＜a_k+1＜1，
又ln2＞0
∴0＜a_k+1＜1，即n=k+1時，求證的結論也成立
由（i）（ii）可知對一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的增減性并根據函數的增減性得到函數的極值，會利用數學歸納法進行證明，是一道綜合題．