Question

已知A、B、C同時滿足sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求證：cos²A+cos²B+cos²C為定值．

Answer 1

【答案】分析：考查已知方程組sinα±sinβ=a，cosα±cosβ=b，求值的常用方法即：平方后相加減．
解答：證明：先兩式變形sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，再平方，
（sinα+sinβ）²=sin²γ，
①（cosα+cosβ）²=cos²γ，②
①+②化簡得cos（α-β）=-，③
②-①化簡得，cos2γ=cos2α+cos2β+2cos（α+β），④
所以cos²α+cos²β+cos²γ
=++
=+，將④代入
=+cos2α+cos2β+cos（α+β）
=+cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]+cos（α+β）
=+2cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β），將③代入
=
故cos²A+cos²B+cos²C為定值，值為．
點評：本題需熟悉和差角公式，即角2α，2β，α+β，α-β的互化．