Question

在△ABC中，A，C為銳角，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若，求a，b，c的值；
（3）已知tan（α+A+C）=2，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二倍角三角函數與同角三角函數的關系，算出cosA、sinA和cosC的值，最后用兩角和的余弦公式，即可求出cos（A+C）的值；
（2）由（1）求出的cos（A+C）值，可得A+C=，從而算出sinB=，結合正弦定理得出a：b：c=2：5：，再結合題意，不難得出三邊a，b，c的值；
（3）由題意，tan（α+）=2，解之得tanα=，再將所求式的分子轉化為cos²α+sin²α，分子分母同除以cos²α轉化為關于tanα的式子，即可得到所求式子的值．
解答：解：（1）∵，且A為銳角
∴cosA=，sinA==
∵sinC=，且C為銳角
∴cosC==
因此，cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=•-•=
（2）∵cos（A+C）=，0＜A+C＜π，∴A+C=，得B=π-=，sinB=
∵sinA=，sinB=，sinC=，
∴sinA：sinB：sinC=2：5：
由正弦定理，得a：b：c=2：5：，設a=2x，得b=5x，c=x
∵，得2x-x=
∴x=，可得a=，b=，c=1
（3）由（2）知A+C=，得tan（α+）=2
∴=2，解之得tanα=
所以===
點評：本題給出三角形的兩個角A、C與邊a、c的關系式，求三邊的長并求三角函數式的值，著重考查了三角恒等變形、三角形內角和定理和用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．