Question

（2013•薊縣二模）在△ABC中，A，C為銳角，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且cos2A=

3

5

，sinC=

10

10

（Ⅰ）求cos（A+C）的值；
（Ⅱ）若a-c=

2

-1，求a，b，c的值；
（Ⅲ）求函數y=tan(

x

2

+A+C)的最小正周期和定義域．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角三角函數與同角三角函數的關系，算出cosA、sinA和cosC的值，最后用兩角和的余弦公式，即可求出cos（A+C）的值；
（II）由（I）求出的cos（A+C）值，可得A+C=

π

4

，從而算出sinB=

2

2

，結合正弦定理得出

5

a=

2

b=

10

c，再結合題意a-c=

2

-1，即可得出三邊a，b，c的值；
（III）根據（II）先求出函數的解析式，從而利用最小正周期的公式求出最小正周期，再由利用正弦函數的特點求出函數的定義域即可．

解答：解：（I）∵A，C為銳角，sinC=

10

10

sinC=

1-sin2C

=

3 10

10

又cos2A=1-2sin2A=

3

5

，
∴sinA=

5

5

，cosA=

1-sin2A

=

2 5

5

∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

2

2

（II）∵cos（A+C）=

2

2

0＜A+C＜π
∴A+C=

π

4

∴B=

3π

4

 sinB=

2

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

∴

5

a=

2

b=

10

c
即a=

2

c，b=

5

c
∵a-c=

2

-1，∴

2

c-c=

2

-1
∵a-c=

2

-1，∴

2

c-c=

2

-1，
∴c=1 a=

2

，b=

5

（III）由（II）知A+C=

π

4

則y=tan（

x

2

+

π

4

）
∴函數y=tan（

x

2

+

π

4

）的最小正周期為2π，

x

2

+

π

4

≠kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：x≠2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴函數y=tan（

x

2

+

π

4

）的定義域為{x|x≠2kπ+

π

2

（k∈Z）}．

點評：此題考查了正弦定理、二倍角公式以及三角函數的周期、定義域的求法，有一定的難度，解題過程中要認真、仔細．