Question

函數f（x）=2x-

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數）．
（1）當a=-2時，求函數y=f（x）的最小值；
（2）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，求a的取值范圍；
（3）求函數y=f（x）在x∈（0，1）上的最大值及最小值，并求出函數取最值時x的值．

Answer 1

分析：（1）a=-2時易判斷y=f（x）在（0，1]上的單調性，根據單調性可得f（x）的最小值；
（2）由y=f（x）在定義域上是減函數，知任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，轉化為恒成立問題即可解決；
（3）分三種情況進行討論：①當a≥0時，易知f（x）在（0，1]上單調遞增，可得函數最值；②由（2）得當a≤-2時，y=f（x）在（0，1]上單調遞減，可得函數最值；③當-2＜a＜0時，通過研究單調性可得函數最值；

解答：解：（1）函數y=f（x）=2（x+

1

x

）在（0，1]上單調遞減，
∴y=f（x）的最小值為f（1）=4；
（2）若函數y=f（x）在定義域上是減函數，
則任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，即（x₁-x₂）（2+

a

x1x2

）＞0，
只要a＜-2x₁x₂即可，
由x₁，x₂∈（0，1]，得-2x₁x₂∈（-2，0），所以a≤-2，
故a的取值范圍是（-∞，-2]；
（3）①當a≥0時，函數y=f（x）在（0，1]上單調遞增，無最小值，
當x=1時取得最大值2-a；
②由（2）得當a≤-2時，函數y=f（x）在（0，1]上單調遞減，無最大值，
當x=1時取得最小值2-a；
③當-2＜a＜0時，函數y=f（x）在（0，

-2a

2

]上單調遞減，在[

-2a

2

，1]上單調遞增，無最大值；
當x=

-2a

2

時取得最小值2

-2a

．

點評：本題考查函數單調性的判斷及其應用，考查函數最值的求解，考查分類討論思想．