Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，已知,,現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC，設點F為棱AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；
（2）求直線與平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）要證DC平面ABC，則需證DC垂直平面ABC內的兩條相交直線，需證AB⊥CD，CD⊥BC，可得結論；（2）求直線與面所成的角，需過直線上一點（異于與面的交點）向面作垂線，此題根據已知條件在面ABC內過點B向AC作垂線BE，再證BE與面ADC垂直，即可找出直線BF與面ACD所成的角，最后在角所在的三角形中求解.
試題解析：（1）證明：在圖甲中∵且 ∴ ,，即
在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又，∴DC⊥BC,且 ∴DC平面ABC．          7分
（2）解：作BE⊥AC，垂足為E，
由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，
∴即為直線與平面ACD所成角
設得AB=，AC=
∴，，  ∴，
∴直線與平面ACD所成角的余弦值為.  ..14分