Question

已知數列{

1

n

}的前n項和是S_n．
（Ⅰ）分別計算S₂-S₁，S₄-S₂的值，并比較S2n-S2n-1與

1

2

的大小（不必證明）；
（Ⅱ）求使S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）對于大于1的正整數n都成立的函數f（n），并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用已知條件計算S₂-S₁，S₄-S₂的值，推出S2n-S2n-1的值然后與

1

2

比較大小．
（Ⅱ）猜想S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）對于大于1的正整數n都成立的函數f（n）的表達式，然后利用數學歸納法證明推出的結論．

解答：解：（Ⅰ）S₂-S₁=

1

2

，S₄-S₂=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
當n≥1時，S2n-S2n-1=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

（共2^n-1項）≥

1

2n

×2^n-1=

1

2

，
當且僅當n=1時，等號成立．…（4分）
（Ⅱ）當n=2時，有1=f（2）（1+

1

2

-1）⇒f（2）=2，
n=3時，有

5

2

=f（3）（1+

1

2

+

1

3

-1）⇒f（3）=3，
由此猜想f（n）=n（n≥2）．…（6分）
下面用數學歸納法證明：
①n=2，3時，上面已證，猜想正確；
②設n=k （k≥2）時，f（k）=k即S₁+S₂+…+S_k-1=k（S_k-1成立
則S₁+S₂+…+S_k=k（S_k-1）+S_k
=（k+1）S_k-k=（k+1）（S_k+

1

k+1

-1）=（k+1）（S_k+1-1）
即n=k+1時，猜想也正確．
綜上所述，存在f（n）=n，使得S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）•（S_n-1）對于大于1的正整數n都成立．  …（8分）

點評：本題考查數列求和，數學歸納法的證明方法的應用，考查邏輯推理能力以及計算能力．