Question

已知數列{a_n}中，a₁＝，a₂＝，且數列{b_n}是公差為－1的等差數列，其中b_n＝log₂(a_n+1－)，數列{c_n}是公比為的等比數列，其中c_n＝a_n+1－，求數列{a_n}的通項公式及它的前n項和．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵a1＝，a2＝， 　　∴b1＝log2(－×)＝－2，c1＝－×＝． 　　∵{bn}是公差為－1的等差數列，{cn}是公比為的等比數列． 　　∴bn＝ 　　即即 　　消去an+1，得an＝－． 　　Sn＝a1＋a2＋…＋an＝3(＋＋＋…＋)＋2(＋＋＋…＋) 　　＝3×2×＝3－－1＋． 　　思路解析：an是關于n的未知函數．由已知條件，事先無法估計an的解析式的形式結構，因此不能用待定系數法求an．但是利用等差數列{bn}和等比數列{an}可以列出關于an+1和an的兩個等式，視它們為關于an+1和an的方程組，消去an+1即可得an．

提示：

求通項公式就是求一個關于n的未知函數．在事先無法估計函數的形式結構時，只要列出關于這個未知函數的方程或方程組即可求解．這正是數學思維的基本觀點之一——方程觀點在求函數解析式問題中的應用．