Question

已知實數a，b，c∈R，a+b+c=1，求4^a+4^b+4^c2的最小值，并求出取最小值時a，b，c的值．

Answer 1

【答案】分析：已知a+b+c=1求4^a+4^b+的最小值，4^a，4^b，三個數都是正數，用三項的基本不等式求解，等號成立的條件是a=b=c²，從而求出最小值時a，b，c的值．
解答：解：由均值不等式，得4^a+4^b+≥3=3（當且僅當a=b=c²時等號成立）
∵a+b+c=1
∴a+b=1-c
則a+b+c²=c²-c+1=（c-）²+，
當c=時，a+b+c²取得最小值．
從而當a=b=，c=時，4^a+4^b+取最小值，最小值為3．
點評：此題考查了創造條件使用平均值不等式求取值范圍問題，三個數的條件不等式，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，體現了消元的數學思想方法．是中檔題．