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設定義域R上的函數(shù)f(x)既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù),若f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)>0,對一切 t∈R+成立,求實數(shù)k的取值范圍.
分析:由已知中函數(shù)f(x)既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)我們可將不等式f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)>0恒成立,轉化為u2-(k+1)u+2>0或u2-(k+1)u+2<0恒成立,根據(jù)二次函數(shù)恒成立的處理方法,即可得到實數(shù)k的取值范圍.
解答:解:∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
∴f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)>0可化為
f(klog2t)>f(log22t-log2t+2)
令u=log2t,則原不等式可化為:
f(ku)>f(u2-u+2)
∵函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)
故ku>u2-u+2或ku<u2-u+2恒成立
即u2-(k+1)u+2>0或u2-(k+1)u+2<0恒成立
由于函數(shù)g(u)=u2-(k+1)u+2
為開口方向向上的拋物線,故g(u)=u2-u+2無最大值
∴u2-(k+1)u+2>0恒成立
即△=(k+1)2-8<0
解得:-2
2
-1<k<2
2
-1
點評:本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及奇函數(shù)的性質(zhì),其中利用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉化為熟悉的二次函數(shù)問題是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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18、設F(x)的定義域為R,且滿足F(ab)=F(a)F(b),其中F(2)=8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足下述條件:①f(x)是奇函數(shù);②f(x+2)是偶函數(shù);③在[-2,2]上,f(x)=F(x)
(1)設G(x)=f(x+4),判斷G(x)的奇偶性并證明;(2)解關于x的不等式:f(x)≤1.

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π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0,則方程f(x)=cosx在[-2π,2π]上的根的個數(shù)(  )

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1
f(
2
3
an)

(1)求f(0)的值,并證明f(x)是定義域上的增函數(shù):
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設0<a<bnSn為數(shù)列{an}的前n項和,是否存在實數(shù)k,使得對任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求出k的取值范圍,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設定義域R上的函數(shù)f(x)既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù),若f(klog2t)+f(log2t-log22t-2)>0,對一切 t∈R+成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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