Question

已知函數y=f（x）是定義在區間上的偶函數，且時，f（x）=-x²-x+5
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）將函數g（x）=-x²-x+5，的圖象按向量a=（1，b）（b∈R）平移得到函數h（x）的圖象，求函數h（x）的解析式并解不等式h（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據偶函數的定義可知先求出函數在區間上的函數解析式，從而求出函數y=f（x）在區間上的解析式；
（2）先根據向量平移求出函數h（x）的解析式，然后討論b的范圍，分別求出不等式h（x）＜0的解集．
解答：解（1）當時，-x∈∴f（-x）=-（-x²）-（-x）+5=-x²+x+5
∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）∴f（x）=-x²+x+5，x∈
∴f（x）=
（2）依題意 ①
將y′=y+b，x′=x+1代入①得 y-b=-（x'-1）²-（x'-1）+52  且
∴h（x）=-x²+x+5+b且
由h（x）＜0      b＜x²-x-5
設y₁=by₂=x²-x-5   
易知y₂在↑，
則當b＜-5時，解集為，當b=-5時，解集{x|1＜
當時，解集為φ；
當-5＜b＜時，由x²-x-5-b=0解的（舍）
解集為＜
點評：本題綜合考查了函數的基本性質，已知奇偶性求函數解析式的問題，以及圖象的平移和解不等式，屬于中檔題．