Question

已知P是橢圓+=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)，P與兩焦點(diǎn)F₁、F₂的連線互相垂直，且點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離分別為d₁=6和d₂=12，求橢圓方程.

Answer 1

解：如圖所示，P到l₁的距離為d₁，P到l₂的距離為d₂.

    由第二定義知|PF₁|=ed₁,|PF₂|=ed₂.

    又∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

    ∴e²d₁²+e²d₂²=(2c)².

    ∴(6²+12²)=4c²,a²==45.

    又∵|PF₁|+|PF₂|=2a,

    ∴|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a².

    ∴4c²+2e²d₁d₂=4a².

    ∴4c²+=4a².

    ∴4c²+c²=45×4.

    ∴c²=45.

    ∴c²=.∴c==5.

    ∴c²=25.

    ∴b²=a²-c²=20.

    ∴橢圓方程為+=1.