Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）求函數y=xg（x）-2x的單調增區間．
（2）如果函數y=f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，求a的取值范圍；
（3）是否存在實數a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函數y=xg（x）-2x的導數，再讓導數大于0，解出x的范圍即為函數的單調增區間．
（2）如果函數y=f（x）是二次函數，在[1，+∞）上是單調增函數，則函數圖象開口向上，且[1，+∞）在對稱軸右側，再看A在哪個范圍內符合條件即可．
（3）先假設存在實數a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個不相等的實數根．
根據假設，轉化為函數在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個零點，再利用導數判斷即可．

解答：解：（1）∵y^′=lnx-1
令y^′＞0，則x＞e
∴函數y=xg（x）-2x的單調增區間為（e，+∞）
（2）當a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函數，
當a＞0時，y=f（x）的對稱軸方程為x=-

2

a

由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，∴a＞0
當a＜0時，不符合題意，
綜上，a的取值范圍為a≥0
（3）方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）可化簡為

lnx

x

=ax+2-（2a+1）
即為方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．
設H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，（x＞0）
原方程在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個不相等的實數根，即函數H（x）在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個零點．
H^′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2a+1) (x-1)

x

令H^′（x）=0，因為a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）
當x∈（0，1）時，H^′（x）＜0，H（x）是減函數；
當x∈（1，+∞）時，H^′（x）＞0，，H（x）是增函數．，
H（x）在（

1

e

，e）內有且只有兩個不相等的零點，只需
 

H( 1 e )＞ 0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即1＜a＜

e2+e

2e-1

點評：本題考查了利用導數求函數單調區間以及零點，做題時要認真．