Question

已知函數(shù)f(x)=(1+

1

tanx

)sin2x-2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關系式以及耳機的三角函數(shù)、兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用正弦函數(shù)的周期求f（x）的最小正周期和通過正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過x∈[

π

12

，

π

2

]，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解求f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=(1+

1

tanx

)sin2x-2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=(

sinx+cosx

sinx

)sin2x-2(

2

2

sinx+

2

2

cosx)(

2

2

sinx-

2

2

cosx)
=sin²x+sinxcosx-（sin²x-cos²x）
=sinxcosx+cos²x
=

1

2

sin2x+

1

2

（cos2x+1）
=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

．
函數(shù)的極限為：f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．
同理可得f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5

8

π+kπ](k∈Z)
（2）∴x∈[

π

12

，

π

2

]，∴

5π

12

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
∴0≤f(x)≤

1

2

+

2

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)二倍角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查計算能力．