Question

已知定義在R⁺上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①f（3）=-1；②對(duì)任意x、y∈R⁺都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（9）、f(

3

)的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在R⁺上為減函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式f（6x）＜f（x-1）-2．

Answer 1

分析：（1）給已知中的等式中的x，y都賦值3求出f（9）；給x，y都賦值

3

求出f（3）．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，只要將x2寫成

x2

x1

•x1，利用已知中的等式及x＞1時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)證出．
（3）將不等式中的-2用f（9）代替；利用已知等式將f（x-1）+f（9）用一個(gè)函數(shù)值f（9x-9）代替，
利用函數(shù)的單調(diào)性脫去f，求出不等式的解集．

解答：（1）解：令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2
令x=y=

3

得f(

3

)+f(

3

)=f(3)=-1∴f(

3

)=-

1

2

（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，x₁，x₂∈R⁺
f(x2)=f(

x2

x1

x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＜f(x1)
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R⁺上為減函數(shù)．
（3）不等式等價(jià)于

6x＞9(x-1) 6x＞0 x-1＞0

，
解得1＜x＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值常用的方法是賦值法、判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性常用的方法是函數(shù)單調(diào)性的定義、利用函數(shù)單調(diào)性解抽象不等式首先要將不等式寫出f（m）＞f（n）的形式．