Question

已知函數y=f（x）定義在R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=log₂（x+

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）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若M={m|函數g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有兩個零點}，求集合M．

Answer 1

分析：（1）由函數y=f（x）定義在R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=log₂（x+

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），知x=0時，f（x）=0；x＜0，f（x）=-log2(-x+

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)，由此能求出f（x）．
（2）畫出函數y=|f（x）|的圖象，由形結合，能求出m的范圍．由此能求出集合M．

解答：解：（1）∵函數y=f（x）定義在R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=log₂（x+

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），
∴x=0時，f（x）=0，
x＜0，-f（x）=log2(-x+

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)，即f（x）=-log2(-x+

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)，
∴f（x）=

-log2(-x+ 1 2 )，x＜0 0，x=0 log2(x+ 1 2 )，x＞0

．（6分）
（2）畫出函數y=|f（x）|的圖象．

∵函數g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有兩個零點，
∴由圖象可得：m≥1．
∴M={m|函數g（x）=|f（x）|-m（m∈R）有兩個零點}={m|m≥1}．（6分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答．