Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c和一次函數g（x）=-bx，其中a、b、c，滿足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求證：兩函數的圖象交于不同的兩點A，B；
（2）求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立兩個函數的方程

y=ax2+bx+c y=-bx

得 ax²+2bx+c=0．所以△=4（a+

c

2

）²+3c²．∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．，
∴△＞0，即兩函數的圖象交于不同的兩點
（2）由題意得|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，∴a＞-a-c＞c所以

c

a

∈（-2，-

1

2

）．
再根據二次函數的性質求得A₁B₁²∈（3，12），故A₁B₁∈（

3

，2

3

）

解答：解：（1）由

y=ax2+bx+c y=-bx

消去y，得 ax²+2bx+c=0．
△=4b²-4ac=4（-a-c）²-4ac=4（a²+ac+c²）=4（a+

c

2

）²+3c²．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．
∴

3

4

c²＞0，∴△＞0，即兩函數的圖象交于不同的兩點．
（2）設方程ax²+2bx+c=0的兩根為x₁和x₂，則x₁+x₂=-

2b

a

，x₁x₂=

c

a

．
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=(-

2b

a

)2-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]=4[(

c

a

+

1

2

)2+

3

4

]．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，
∴a＞-a-c＞c，解得

c

a

∈（-2，-

1

2

）．
∵f(

c

a

)=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]的對稱軸方程是

c

a

=-

1

2

，且當

c

a

∈（-2，-

1

2

）時，為減函數，
∴A₁B₁²∈（3，12），故A₁B₁∈（

3

，2

3

）．

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，不等式的性質也略有體現，在高考中以基礎題型出現．