Question

已知橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦點為F₁，直線l：y=x-2與橢圓C交于A、B兩點．
（1）求線段AB的長；
（2）求△ABF₁的面積．

Answer 1

（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因為

x2

8

+

y2

4

=1和y=x-2相交，把兩個方程聯立，得

x2+2y2-8=0 y=x-2

代入得到x²+2（x-2）²-8=0，即3x²-8x=0，解得x1=0，x2=

8

3

所以y1=-2，y2=

2

3

，
所以|AB|=

(0- 8 3 )2+(-2- 2 3 )2

=

8

3

2

（2）法一：因為點F₁（-2，0）到直線y=x-2的距離為d=

|-2-2|

1+1

=2

2

所以S△ABF1=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

8 2

3

•2

2

=

16

3

法二：直線y=x-2通過橢圓的右焦點F₂（2，0），
則△ABF₂的面積為S△ABF1=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)=

1

2

×4×(2+

2

3

)=

16

3