Question

【題目】已知數列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項和為Sn滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*）
（1）試求數列{an}的通項公式
（2）令bn= ，Tn是數列{bn}的前n項和．證明：對任意給定的m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得當n≥n0時，Tn＞m恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*），整理得：Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1，

∴an=an﹣1=2n﹣1，即an﹣an﹣1=2n﹣1，n≥3，

∵a2﹣a1=2，

a3﹣a2=4，

a4﹣a3=23，

…

an﹣an﹣1=2n﹣1，

將上式累加整理得：an﹣a1=2+4+23+…+2n﹣1，

∴an= +3=2n+1，

數列{an}的通項公式an=2n+1；

（2）證明： bn= = = （ ﹣ ），

∴數列{bn}的前n項和Tn=b1+b2+b3+…+bn，

= [（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]，

= （ ﹣ ），

Tn+1﹣Tn= ＞0，

∴Tn隨著n的增大而增大，

若Tn＞m，則 （ ﹣ ）＞m，化簡整理得： ＞ ，

∵m∈（0， ），

∴1﹣6m＞0，

∴2n+1＞ ﹣1，

n＞log2（ ﹣1）﹣1，

當log2（ ﹣1）﹣1＜1時，即0＜m＜ ，取n0=1，

當log2（ ﹣1）﹣1≥1時，解得： ≤m＜ ，記log2（ ﹣1）﹣1的整數部分為p，

取n0=p+1即可，

綜上可知，對任意m∈（0， ），均存在n0∈N*，使得當n≥n0時，Tn＞m恒成立

【解析】（1）由題意可知Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1 ， 即an﹣an﹣1=2n﹣1 ， n≥3，采用“累加法”即可求得數列{an}的通項公式；（2）由（1）可知，bn= = = （ ﹣ ），采用“裂項法”即可求得數列{bn}的前n項和Tn ， 由函數的單調性可知，Tn隨著n的增大而增大，分離參數n＞log2（ ﹣1）﹣1，分類log2（ ﹣1）﹣1＜1及log2（ ﹣1）﹣1≥1時，求得m的取值范圍，求得n0的值，即可證明存在n0∈N*，使得當n≥n0時，Tn＞m恒成立．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．